Matematik biliminin, M.Ö. 600 yıllarına doğru Yunanistan’da doğduğu söylenir; ancak bu iddia tamamıyla doğru değildir. En son araştırmalar, matematik kültürünün yeşerdiği merkezlerin, bu tarihten çok daha önce birbirinden ayrı bölgelerde var olduğunu ortaya koymuştur.
En eski kültür merkezlerinin, Ortadoğu’dakiler olduğu sanılır; Yunanlılar, bu kültür merkezlerinin matematik bilgisinden kendi geleneklerine göre, hiç olmazsa kısmen, yararlandılar. Diğer küçük merkezler ise, matematiğin ilerlemesine katkıda bulunamadan birer birer söndüler.
KOLOMB ÖNCESİ MATEMATİK
İnka medeniyetinin matematik bilgilerini de kapsaması gerekir; elde hiç yazılı metin bulunmadığı için bu bilgiler yenilenememiştir.
Eski yazı bilginleri tarafından okunabilen bir yazı kültürüne (elyazmaları ve anıtlar üzerindeki piktografi ve hiyeroglif yazılar) sahip Mayalar ve onların kültürünü sürdüren Aztekler üstüne daha çok bilgi edinilmiştir; bu halkların özellikle zaman hesabı, takvim problemi ve astronomi olaylarını önceden bilme konusunda uğraştığı sanılır.
Takvimlerinin başlangıcı M.Ö. 3113 yılının 12 ağustosuydu. Bazı yazıtlarda, gerçek güneş yılı ile 365 günlük âdi yıl arasındaki farkın şaşılacak bir kesinlikle hesaplandığı görülür. Bu bilim, 20 tabanlı bir sayılama sistemi üzerine kurulmuş bir aritmetik âletinin hassas çalışmasıyla daha da güçlenmiştir. Demek ki bütün bilgiler, Mayalar’da, eski ve köklü bir medeniyet çerçevesi içinde ilgi çekici bir matematik çalışmasının var olduğunu ortaya koyar; ancak bu bilgilerin neden böyle birden sönüp gittiği bilinmez.
ÇİN MATEMATİĞİ
Tamamıyla Çinlilere ait bir matematik kültüründen en küçük bir iz bile kalmamıştır. Bu matematik kültürü ancak yakın zamanda, eski yazıtlar, elyazmaları ve basılı kitapların yardımıyla gün ışığına çıkmıştır. Çinlilerin ilk matematik bilgileri çok eski tarihlere kadar uzanır. M.Ö. XIII. yy.dan beri Çinlilerin, bugün kullandığımız sisteme oldukça benzeyen bir ondalık sayılama sistemi vardı.
Çok erken kurulmuş olan Çin matematiğinin, hareketli bir tarih evrimi boyunca düzenli olarak gelişmiş olması gerekir. Yunan, Arap ve batı matematikleri ile Çin matematiği arasında da bir paralellik dikkati çeker.
M.Ö. III. yy.da Çinliler Pythagoras teoreminin ispatını yapmışlar, pi’nin yaklaşık değerini hesaplamışlar ve kareli aritmetik tablosu üzerinde 1. dereceden denklemleri çözmüşlerdir. Bununla birlikte, sıfır sayısı, ancak M. S. VIII. yy.da kullanılmaya başlanmıştır. XII. ve XIII. yy.da Çin cebiri çok büyük bir gelişme gösterdi. Fakat Mançurya’nın fethinden sonra araştırma ruhu kayboldu ve matematik çalışmaları birkaç basit uygulamadan öteye gidemedi.
Çin matematiğinin gelişimi kendiliğinden mi durakladı? Bu soru cevapsız kalıyor. Bununla birlikte, XV. yy.dan beri Batı’daki olağanüstü matematik gelişmeleri üzerinde Çin’in bir etkisi olduğunu gösteren hiç bir kaynak yoktur.
YUNAN ÖNCESİ MATEMATİK
Buna karşılık, daha sonraki papiruslarda sadece birkaç pratik hesap ve ölçü yönteminin bulunması, matematiğin ilerleyecek yerde gerilediğini gösterir. Yunanlıların Mısır ile ilişki kurduğu devrede, mısır matematiğinin uzun zamandır böyle bir gerileme devresine girmiş olması gerekir.
Sümer-Babil kültür merkezi üstüne bilinenler, yakın zamanda yapılan kazılarla büyük bir kısmı gün ışığına çıkarılan toprak tabletler üzerindeki çivi yazısının okunmasına dayanır. Bu yazıtlardan bazıları, yine M. Ö. 2000 yılından daha öncelere kadar uzanan bir çağda, geometri ve astronomi problemlerine yönelmiş ilgi çekici bir matematik biliminin varlığını ispatlar.
Meselâ, Babilliler ikinci dereceden ve bazı üçüncü dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili hesap yöntemlerini geliştirmişlerdir. Yunanlılar Babillilerle ilişki kurduğu zaman, bu matematik kültürü de gerileme devresinde miydi? Bazı bilginler bu düşüncededir. O sıralar Babil matematikçileri, 10 tabanlı bir sayılama sistemiyle birlikte kullanılan 60 tabanlı bir sistemden yararlanarak, Güneş ve Ay tutulmalarının olacağı tarihleri hesaplayabiliyorlardı.
Yunan matematiğini etkileyen Sümer-Babil kültür merkezine Fenikelileri de katmak gerekir; çünkü Yunanlıların sayılama sistemi Fenikelilerden gelir.
YUNAN MATEMATİĞİ
Efsaneye göre, yunan matematikçilerinin çoğu uzun süre Mısır ve Mezopotamya’da oturmuşlardır. Yine de bu bilginler yunan matematiğini, kökünden değişmiş rasyonel bir bilim, yani tamamıyla tümdengelimli akıl yürütme yoluyla açık gerçekler üzerine oturtulmuş bir bilim halinde kurmayı başardılar.
İonia okulu, M.Ö. 600 yılına doğru Miletos’lu Thales ile (bazı temel geometri teoremleri onun adını taşır), bu yolu açtı. Pythagoras tarafından VI. yy.ın ortalarına doğru kurulan Pythagoras veya İtalya okulu bir müritler topluluğuydu. Bu okulun, Taranto körfezindeki Crotone merkez enstitüsü, siyasi-dini sebeplerle V. yy. başlarında kapatıldı. Yine de bu tarikat, önce Yunanistan’da, sonra İskenderiye’de daha uzun süre yaşadı.
Pythagoras’çılar, 150 yıl içinde dört matematik kolundan (aritmetik, müzik veya müzik aralıkları aritmetiği, düzlem geometri, astronomi veya küresel geometri) ilk grubu düzenlediler. Okul, tamamıyla sayı kavramı üstüne kurulmuş bir matematik öğretisinin tohumlarını atıyordu.
Bazı Pythagoras’çılara göre, her şeyin ayrı bir sayısı vardı ve bu sayıyı bilmeden o şey ne tanınabilir, ne de anlaşılabilirdi. Bu doktrine göre, her çeşit büyüklük arasındaki oranlar tamsayıların oranından başka bir şey olamazdı. Elea okulu bu görüşlere karşı çıktı ve tenkitleri sonradan Parmenides ve Zenon paradoksları olarak ün yaptı. Karenin köşegeni ile kenarı arasındaki oran gibi ortakölçülemez oranların bulunması, Pythagoras okuluna kesin bir darbe indirdi.
IV. yy., felsefe ve bilim açısından bir dönüm noktasıdır. Ortakölçülemez sayıların varlığından doğan güçlükler, Eudoksos’un, bir kesinlik örneği olarak günümüze kadar gelen ünlü orantılar teorisiyle yenildi. Böylece Pythagoras’çıların öğretisi ve garip sayı inanışları aşıldı ve yerini eflatun’cu matematik görüşü ile fikir öğretisine bıraktı.
III. yy. başında İskenderiye’de yazılan Eukleides’in Elemanlar’ı, bir önceki yüzyılda kaydedilen gelişmeleri tamamlayan bir eser oldu. M. ö. 331 yılında kurulan İskenderiye, kısa sürede yunan kültürünün merkezi haline geldi. Eukleides’ten Diophantos, Pappos ve Proklos’a kadar, yunan matematik bilimlerinde isim ve yer yapmış bilginlerin hemen hepsi İskenderiye’de barınabildi.
Elemanlar’ın matematik alanında önemi çok büyük oldu. Bu eser, aksiyomatik metot yardımıyla gerçek bilginin tüzüğünü kurarak bu ideali uzun süre yaşattı. Eukleides metodu her şeyden önce, büyüklüklerin, aşağıdakine benzer aksiyomlar üzerine kurulmuş genel bir teorisini kapsar: “Aynı büyüklüğe eşit iki büyüklük birbirine eşittir.” Geometrinin kuruluşuna ayrıca birçok postulatın da katkısı oldu; bunlardan en ünlüsü “paraleller postulatı” veya “Eukleides postulatı”‘dır.
Aksiyomlar ve postulatların en büyük özelliği, ilk bakışta kabul edilecek kadar açık olmalarıdır. Aralarındaki fark, aksiyomların genel, postulatların geometrik gerçekler olmasıdır. Elemanlar, geometri gibi bir bilimin, tamamen tümdengelimli yolla, yani hepsi birbirinden türeyen tanımlar ve ispatlar bütünü halinde, aksiyomlar ve postulatlar temeli üzerine kurulabileceğini ispatladı.
Kuruluş yöntemi belirlenmişti ama, çoğu geometrinin temel taşları olan daha birçok noktanın keşfedilmesi gerekiyordu. Yunanlıların geometri araştırmaları, Apollonios ve Arkhimedes sayesinde en büyük başarıyı yine III. yy.da gösterdi. Apollonios, konikler üzerine büyük bir inceleme kitabı yazdı ve tahminen episikloitleri inceledi, İskenderiye döneminin birinci yüzyılını parlak ve başarılı bir devir haline getiren Apollonios ile Eukleides oldu. Fakat, Eskiçağın en büyük matematik dehası, hiç şüphesiz Syrakusai’li Arkhimedes’tir.
Ardışık yaklaştırmalarla pi’nin hesaplanması, küre ve silindirin hacim hesapları, parabol parçasının kareleştirilmesi, statik momentlerin ve ağırlık merkezlerinin kullanılması v.b. gibi çalışmalarıyla, mekanik ve integral hesaba giden yolları açtı. Bir bilgi metodu olması bakımından, Arkhimedes metodu Eflatun’cu doktrin ile uyuşamıyordu.
Arkhimedes’in metodu, doğru uygulama tasası ile tam bir kesinliğin araştırılmasını bağdaştırıyordu Bu iki yönlü özellik, bir yandan, hâlâ günümüzde “Arkhimedes ilkesi” diye bilinen hidrostatik ilkesinde, öte yandan da, Eudoksos’a ait tüketme ilkesinin alanlar ve hacimler hesabında tam bir titizlik ve kesinlikle uygulanmasında görülür. Oysa, eflatun’cu ülkü, akıl gerçeklerinin temaşasına dayanır ve teknik uygulamalardan kaçınırdı. Bu bakımdan Arkhimedes biliminin modern bilime özgü bilgi tipine yöneldiği söylenir.
Aynı özelliği, Arkhimedes’in yakından tanıdığı İskenderiye biliminde de buluruz: M.Ö. II. yy.da, astronom Hipparkhos’un düzlemsel ve küresel trigonometrisi ve M.S. I. yy.da fizikçi Heron’un geometri araştırmaları. İskenderiye’li bilginlerin yolunda daha birçok kimsenin de yürüdüğünü belirtmek için, M.S. I. yy.da Nikomakhos ve Menelaos’u, Ptolemaios ve ünlü dünya sistemini, daha sonraki yüzyılda, yani III. yy.da Diophantos’un aritmetik araştırmalarını ve Pappos’un anarmonik bağıntıları üzerindeki incelemelerini ve nihayet V. yy.da Proklos’un Eukleides’in birinci kitabı üstündeki Yorumlar’ını sayabiliriz. Bu devirden sonra gerilemeye başlayan yunan bilimi yavaş yavaş tam bir fikir keşmekeşine düştü.
Arkhimedes ve İskenderiye’li matematikçilerin Eflatun doktrininden uzaklaştıklarını daha evvel söylemiştik. Stoacılarla felsefe de kendi yoluna girmişti. III. yy.ın ortalarına doğru, yeni Eflatun’cu İskenderiye felsefe okulunun kurulmasıyla bu iki dal arasında suni bir yaklaşma meydana gelmiştir.
Paganların bilimsel katkılarına karşı cephe almasıyla tanınan, Hıristiyanlığın görüşlerini benimsemek istemeyen bu okul birçok bilgini, bu arada da en ünlüsü Proklos olan birçok matematikçiyi kendi kadrosuna almıştı. Fakat, okulun felsefi seviyesi yavaş yavaş düşmeye başlayınca, bilginler ciddi araştırmaları bırakıp ilminücûma, tasavvufa, hattâ kabala’ya kaymaya başladılar. Bu bakımdan, çevrelerinde bir çeşit korku ve tiksinti uyandıran matematikçiler sık sık da zulme uğrar oldular. 529′da imparator İustinianos, o sıralarda Atina’ya nakledilen okulun kapatılmasını emretti; fakat, İskenderiye mirasının hiç değilse bir kısmından Bizans yararlanabildi.
Batı imparatorluğunda yunan kültürünün izleri yavaş yavaş kayboluyordu. Romalıların matematik merakı ise, yer ölçümünden öteye gitmiyordu. Hiç bir gerçek etkisi olmayan bölük börçük birkaç deneme dışında, eski yunanlı matematikçilerin orijinal eserleri latinceye çevrilmemişti. VI. yy.ın başında, gerçek bilimden ortada hiç bir iz yoktu. Denildiğine göre, o devirde, eski çağın son yıllarında yetişmiş derleyicilerin en çalışkanlarından biri olan Kassiodorus’un başkanlığında, ilk defa olarak Vivarium (Bruttium) manastırının keşişleri eski elyazmalarını istinsah ederek Rönesans’a götürecek olan yollardan birini hazırlamaya başladılar.
Eski Yunanlıların (ve bu arada da Hintlilerin) bilimsel mirasına konanlar, Hıristiyanlar değil Arap dünyası oldu.
HİNT MATEMATİĞİ
Her ne kadar, bazı söylentilere dayanarak Veda (M.Ö. 1500 ile 1000 arası) ve Brahma (M.Ö. V. yy.) devirlerinde Hindistan’da matematiğin belli bir seviyeye ulaştığını söyleyebilirsek de Hint matematiği olgunluk çağına ancak klasik devirde (M.S. I. yy. ile VIII. yy. arası) ulaşmıştır. Zaten bu devirden hemen önce Yunan dünyasıyla ilişkiler başlamıştı.
İskender’in ilerlemesi IV. yy.da İndus ırmağı üzerinde durdu. Öte yandan, Buddha’cılığın Çin’de yayılması ve Arap dünyasının gittikçe gelişmesi dış ile ilişki noktalarını çoğaltmıştı. Fakat şunu da belirtelim ki Hint matematiği tümdengelim metodundan çok sayı hesabına dayanan, kendine özgü bir çığırda gelişti. Dokuz rakam ile sıfırın kullanılmasına dayanan ondalık sayılama sistemini medeniyetimiz onlara borçludur.
Eski Yunanlılar bu sistemi bilmezlerdi. Çok daha sonraları, Araplar aracılığıyla Batı’ya ulaştırıldı. Bu sistemin uygulama ve teori alanlarında sağladığı sayısız kolaylıklar, matematiğin daha sonraki gelişmesini temelden etkilemiştir.
Bu sayılama sistemine, ilk olarak M.S. VI. yy.da yazılan ve Suryasiddhanta diye bilinen küçük bir inceleme kitabında rastlıyoruz. Fakat Hintlilerin matematik üstündeki çalışmaları genellikle astronomi eserlerinde yer alır. Meselâ, 476′da doğan Aryabatha ve 598 doğumlu Brahmagupta birer astronomdu; çok daha sonraları 1150′ye doğru Bhaskara kare köklerin nasıl hesaplanacağını gösteren bir aritmetik kitabı yazdı; bu, aslında birinci ve ikinci dereceden denklemlerin teorisidir; fakat, Yunanlılarda olduğu gibi geometrik bir biçimde ortaya konmuştur.
Hint matematiğinin işlemsel özelliği bir genel sayı anlayışından ayrılamaz; bu anlayış orandışı meselesine yabancı kalmakla beraber kendiliğinden negatif sayılara götüren bir yoldu ve bu sayede de bir kare kökün iki işaretini, ikinci dereceden bir denklemin iki çözümünü göz önünde bulundurmaya imkân veriyordu; bu şekilde ortaya çıkan formel (biçimsel) cebir daha sonra Araplar tarafından işlenmeye başladı.
ARAP MATEMATİĞİ
Araplar, akıl almaz bir hızla Akdeniz’in ve eski İran’ın güney kıyılarından Pirene’lere kadar uzanan toprakları İslamlaştırmışlardı. Daha 642′de İskenderiye’yi işgal ettiler. Bu durumda, yunan kültüründen hiç bir iz kalmaması akla gelebilirdi. Oysa tam tersine, Yunanlıların bilimsel mirası hem zenginleşti, hem de değerlendirildi.
Yeni Eflatun’cu okul kapanınca, üyelerinden birçoğu eski İran’a göçmüştü. Bizans Ortodoksluğunun afaroz ettiği Nasturiler de aynı yola koyulmuş, ta Çin’e, Hind’e kadar uzanmışlardı. 762′de II. halife El-Mansur Bağdat’a yerleşti. İskenderiye biliminden arta kalanları toparladı ve Bağdat’ı büyük bir bilim merkezi haline getirdi.
832′de halife El-Memun, Arap matematiğinin en ünlü ilk merkezlerinden biri olan ve bir çeşit bilim akademisi diyebileceğimiz Beytül-Hikme’yi de Bağdat’ta kurdu. Burada eski Yunanlıların tüm bilimsel eserleri Arapçaya çevrildi, incelendi ve hattâ hatmedildi. Kendi yaratıcı güçlerini İskenderiye okulunun çizdiği yolda geliştiren Araplar haklı olarak kendilerini Yunanlıların vârisleri sayıyorlardı. Fakat çok geçmeden Hint astronomlarının eserlerini de Arapçaya çevirdikleri gibi, Hint hesabının değerini ve uygulamada sağladığı kolaylıkları kavramakta gecikmediler.
Bağdat’daki bu bilim merkezinin faaliyeti, Moğol hâkimiyeti sırasında da devam etti ve ta Semerkant’a kadar etkisini duyurdu. Fakat Arap bilim ve matematiğinin bütün batı dünyasında, özellikle de İtalya’ya yayılması ve matematik biliminin bugünkü büyük hamlesine yol açması İspanya, Sevilla. Gırnata ve Kurtuba aracılığıyla oldu.
Eski Yunanlıların da, Hintlilerin de bilimsel katkılarında ayrı ayrı özellikler vardı. Araplar için de aynı şeyi söyleyebilir miyiz? Arapların en büyük özelliği bu etkilerin her ikisine de açık olmaları ve yeni bir hamleyi mümkün kılacak sentezi başarmalarıdır.
Bağdat okulunun seçkin astronom ve matematikçileri arasında en önemlilerini şöyle sıralayabiliriz: halife El-Memun tarafından bir derecelik meridyen yayını ölçmekle görevlendirilen ve haklı olarak cebirin kurucusu sayılan El-Harizmi (847′ye doğr.); Eukleides ve Diophantes’in yorumcusu ve trigonometrinin öncülerinden Ebül Vefa (X. yy. sonu); Eukleides’in önermeleri üstündeki tartışmaları XVIII. yy.da P. Saccheri tarafından değerlendirilecek olan Nasreddin-el-Tusi (1201-1274). Bu arada İspanya’da yetişen El-Kırmani ve İbn-ül-Şaffar’ı (XI. yy. başı) ve Kurtuba’li astronom El-Zarhali’yi de (XI. yy. sonu) sayabiliriz. Fakat Moğol istilâsı (Hulâgu Han 1258′de Bağdat’ı işgal etmişti), Magrıplıların İspanya’ya sürülmesi ve nihayet türk hâkimiyeti Arap bilimi üstünde olumsuz bir etki yaptı ve XIV. yy.dan itibaren orijinal çalışmalar kalmadı.
BİZANS MATEMATİĞİ
İustinianos’un Atina okuluna karşı aldığı tedbirlere ve dini Ortodoksluğun bütün ağırlığına rağmen Doğu Roma imparatorluğunda XVI. yy.a kadar bir bilim ve matematik geleneği sürdü. İlk Bizans üniversitesi 330 yılında Konstantinos tarafından kuruldu. Daha sonraları kilise her türlü bilimsel çalışmaya karşı çıktı; fakat, Paleologos’lar zamanında, IV. Haçlı seferinin (1204-1261) kurduğu Latin imparatorluğunun çökmesinden sonra, Arapların etkisiyle matematik ve astronomi yeniden doğdu.
Ne var ki, bu akıma katılanlar birer gerçek bilgin olmaktan çok Gregoras (XIV. yy.) gibi derleyici’lerdi. Bizanslıların en büyük başarısı yunan ve doğu eserlerini korumuş olmaları ve 1453′ten sonra, yani İstanbul Türkler tarafından fethedildikten sonra bu eserleri İtalya’ya götürmeleridir.
MATEMATİĞİN GELİŞMESİ
Batı Hıristiyan dünyasında matematik çalışmaları ancak Gerbert d’Aurillac (960-1003) [Silvester II adiyle papa olmuştur] zamanında başlayabildi. Fakat Gerbert’in ve çömezlerinin eserleri, ancak matematik bilgisinin hangi seviyede kaldığı hakkında bizi aydınlatmaları bakımından önemlidir. Bu çalışmaların aritmetikle ilgili bölümü (bütün maksat çörküler üstünde yapılan işlemleri doğrudan doğruya yazılı rakamlarla yapmaktı), Gerbert’in İspanyol Araplarından öğrendiği Arap matematiğinin etkisini taşır.
Bu çalışmaların geometriyle ilgili bölümü ise, seviye bakımından, Eukleides’in Elemanlar’ından çok uzaktır. Geometrik özellikler hâlâ birbirinden ayrı, aralarında bir mantık bağı bulunmayan ve deneylemeyle doğrulanan gerçeklerdir. Demek ki geometriyi tümdengelimli bir sistem olarak gören yunan geometrisinin ana fikri henüz ortaya çıkarılmış ve değerlendirilmiş değildir.
Arap bilimlerinin, özellikle de Arap matematiğinin Batı’ya sızması ve bunun üzerine de Batı’da yunan kültürüne karşı büyük bir ilginin uyanması arasındaki çelişmeyi veya tutarsızlığı nasıl açıklayabiliriz? Buna ille de bir izah bulmak gerekirse, pek tabiidir ki ticaret ilişkileri, Roma ile Bizans, Haçlı seferleriyle Latin imparatoru arasındaki bağıntılar, İstanbul’un Türkler tarafından fethi üzerine değerli malları ile elyazmalarını yanlarına alan yüksek görevlilerin Batı’ya sığınması, Magrıplıların boşalttıkları bölgelerde kalan Yahudi bilginlerin etkisi v.b. ileri sürülebilir. Fakat olayı gereğince anlayabilmek için bu dış şartlar da yeterli değildir.
Eninde sonunda birtakım kişisel teşebbüsleri hesaba katmak zorundayız. Buna örnek olarak Pisa’lı Leonardo’nun bilgisini artırmak için Akdeniz’i dolaşmasını gösterebiliriz. Liber abbaci (1202) ve Practica Geometriae (Pratik Geometri) [1220] gibi kitapları, bilgisi ve ele aldığı konulara ne kadar hâkim olduğunun delilidir.
Guillaume de Moerbeke’in Arkhimedes’in eserini Latinceye çevirmesi de bu döneme rastlar (1269). Arap biliminin iyice zihinlere yerleşmesi ve yayılması (bunda yüksek ruhban sınıfının büyük payı olmuştur) yüzyıllar boyunca sürdü. Yeni yeni kurulmaya başlayan cebir ve analiz alanlarında da kavramların ve işaretlemelerin kesin bir şekle varması da çok uzun zaman aldı ve birçok bocalamaya yol açtı.
Meselâ, Paris okulunun ortaya attığı birçok yeni görüş (özellikle sonsuz ile ilgili olanlar), önceleri herhangi bir kullanım alanı bulunamadan kaldı ve ancak çok daha sonraları verimli bir şekilde değerlendirildi. Luca Pacioli’nin, gerçekten “yayıcı” diyebileceğimiz ve bir yüzyıl sonraki büyük cebircilerin başucu kitabı haline gelen eseri ancak 1494′te basılabildi (Venedik).
Çoğu Bologna okulundan olan Scipione dal Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Çardano, Ludovico Ferrari ve Raffaele Bombelli gibi İtalyan cebircileri ile matematik bilimi gerçekten yepyeni bir gelişme düzeyine girdi. Kavramlarda açıklık, işlemlere hâkimiyet gibi konularda öyle bir olgunluk derecesine varılmıştı ki bir cebirsel denklemin çözümü meselesi artık olanca genelliğiyle ortaya konabilirdi.
Şimdi, herkesin de bildiği gibi, tam bir şekilde ortaya konulabilen büyük bir problem, o problemi çözmek, aydınlatmak ve doğurabileceği sonuçları çıkarmak için gerekli yolların bulunmasına elverişli ipuçlarını da bize verebilir. Sözünü ettiğimiz cebirciler üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri başarıyla çözdüler; bu denklemlerin katsayılarından hareket ederek köklerini belirlemek için bildiğimiz aritmetik işlemlerin yanı sıra sadece kök almaya dayanan formüllere başvurdular. Bu başarı ortaya yeni yeni meseleler çıkardı, bunlardan ikisi, araştırmalarda büyük bir gelişme sağlamaları bakımından burada anılmaya değer:
1. beşinci dereceden denklem (ve onunla beraber daha yüksek dereceden denklemler) aynı yollardan çözülebilir mi?
2. Cartan’ın formülündeki indirgenemez şıkka (üçüncü dereceden denklemler için) göre kullanmak zorunda olduğumuz negatif sayıların (sanal nicelikler) kare köklerine nasıl yer verebiliriz?
Bu iki soru matematik araştırmalarının günümüze kadar gelişmesi, yayılması ve dallanması hakkında bilgi veren iki örnektir. Bu sorulardan ilki daha sonraları hemen hemen bütün büyük cebirci ve analizciyi, özellikle de Euler (1707-1783) ve Lagrange’ı (1736-1813) uğraştırdı. Yeni yeni birçok buluşa yol açmakla beraber bütün çözüm denemeleri başarısızlıkla sonuçlandı; nihayet Abel (1802-1829), beşinci dereceden denklemi köklerle çözmenin imkânsızlığını ispat etti.
Galois’nın teorisiyle aydınlanan ve kapsamı genişleyen bu sonuç bir cebirsel sayılar teorisine yol açtı. İkinci soru ise, ister istemez sanal sayıların (veya karmaşık sayılar) cebirde, sonra da analizde yer almasını gerektirdi. Temel cebir teoreminin (”n. dereceden bir cebir denkleminin kesinlikle n kökü vardır”) geçerliliğini sağlayabilecek tek unsur bu kapsam genişlemesidir. Bu teorem ilk olarak Gauss tarafından, ifade edilmemekle beraber ispatlandı.
O sıralarda henüz ortaya çıkmayan ve muazzam bir şekilde gelişeceği tahmin edilemeyen analiz, gerçek sayılar sistemine karmaşık sayıları katmanın büyük bir önem taşıdığını gösterdi. İtalyan cebircilerinin gösterdiği yolda en büyük başarıya ulaşanlar Viete (1540-1603), Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) gibi Fransız matematikçileri oldu. Günümüze kadar gelen ve bugün de hâlâ kullandığımız cebir, son gelişmeler hesaba katılmazsa onların eseridir.
Descartes ve Fermat çok basit bir fikirden, koordinatlar sisteminden hareket ettiler. Bu fikir cebire, sonsuz ufuklar açtı. Bu görüş çerçevesinde, analitik geometriye dönüşen geometri, cebirin basit bir uygulama alanı oluyordu.
Aksiyomlardan hareket edilerek yapılan kesin tümdengelim yerini hesaba bıraktı. Bu sayede, kısa bir süre sonra aralarına analizin de katılacağı matematik disiplinleri bir çeşit birliğe kavuşuyordu. Bu durumda, basit koordinatlar fikrinin “yeni matematik” (analize özgü fikirleri hesaba katmadan ve özellikle cebir ve geometri ile ilgili alanlarda) hangi sınırlara kadar geliştirebileceğini kestirmek mümkündü.
Düzlem analitik geometriden uzay analitik geometriye geçiş Parent (1666-1713) sayesinde oldu. Bu genelleştirme, ister istemez n boyutlu bir uzay fikrini doğuracak, aynı zamanda da böyle bir uzayda bir geometri kurmanın yollarını gösterecekti. Bunun başarılmasında, hayli geç olmasına rağmen, Schlafli’nin (1814-1895) eserine borçluyuz. n boyutlu bu uzaylar, kendiliklerinden, daha sonraki matematik araştırmalarında büyük faydası görülen birer araç oldu.
Bir düzlemde f, x ve y’li n. dereceden bir çokterimliyi gösterdiği halde, f(x,y)=0 biçiminde bir denklem n. basamaktan bir eğriyi gösterir. Bundan da anlaşılacağı üzere, cebir kendi düzenini geometriye aktarmış durumdadır. Birinci basamaktan eğriler birer doğru, ikinci basamaktan olanlar birer konidir v.b. Meselâ koniler konusunda cebir, meseleyi kendi açısından inceleyecek ve kendi usulüne göre elips, parabol ve hiperboller arasında birtakım ayırmalar yapacaktır.
Bu arada, sınıflandırmalarda her zaman görülen yozlaştırma tehlikesini de bu arada belirtmek yerinde olur. Bu araştırma ilkesi herhangi bir basamak çeşidine teşmil edilirse, cebirsel geometrinin de çerçevesi çizilmiş olur. Fakat bu çerçevenin belirtilmesi demek, aynı zamanda bu çerçevenin koordinatlar fikrinin genelleştirilmesiyle genişlemesi demektir.
Düzlem geometride, bir noktanın koordinatıyla birlikte bir doğrunun koordinatları da tespit edilebilir; uzay geometride de bir doğru ile bir düzlemin koordinatlarını tespit etmek mümkündür v.b. Böylece de geometri, yeni geometrik varlıklar ve yeni ilkelerle zenginleşmeye doğru gider.
Meselâ uzayda değişken bir doğrunun koordinatları arasındaki n. dereceden bir denklem, n. dereceden bir doğrular karmaşasını belirler. Ve bir noktanın koordinatları arasındaki herhangi bir denklemden bir düzlemin koordinatlarıyla meydana getirilmiş özdeş bir denkleme geçme imkânı, “ikilik” diye adlandırdığımız ilkeyi doğrular. Demek ki sadece cebirsel geometri sayesinde matematik araştırmaya açılan alan kendiliğinden sınırsız bir alandır.
Koordinatların değişmesi üzerinde de biraz açıklamada bulunalım. Bir koniğin, meselâ bir elips olması koordinatların seçimine bağlı değildir. Başka bir deyimle, bu oluşum bu seçime göre değişmez bir olaydır ve cebirsel bir eşdeğerinin bulunması pek tabiidir. Oysa bir karşılaştırma sisteminin değişmesi koordinatlarda yapılan bir ornatmayla açıklanır. Böylece de hem ornatmalar teorisi, hem de değişmezler teorisine yol açılmış olur.
Fazla ayrıntılara girmeden, homogen veya izdüşümsel koordinatların katılmasıyla, cebirsel geometri çerçevesinde izdüşümsel bir geometrinin doğduğunu (bu izdüşümsel geometrinin konusu izdüşümsel bir dönüşüm veya kısaca bir izdüşümdür) ve Cayley’in (1821-1855), matematik metotları açısından beklenmedik bir öneme kavuşacak olan izdüşümsel bir ölçübilim kurduğunu söylemekle yetinelim.
Cebirin kendisi de geometriyle bağlantısından yararlanacak mıydı? Cebir kendi fonksiyonuyla gelişecek ve yönünü bulacak; kendi rolünün gereklerine uygun bir seviyede kalmanın yollarını arayacak; denklem sistemleri (lineer denklem sistemleri meselâ), formlar ve ornatmalar cebiri, vektör ve tansör cebiri v.b. olacak; değişmez, determinant, matris, tansör v.b. gibi yeni kavramlarla zenginleşecek ve bildiğimiz bugünkü soyut biçimine kavuşmadan önce kapsamına yeni yeni işlemler alacak; yeni algoritmalar icat edecek; vektör hesabı, tansör hesabı, matris hesabı v.b. gibi aşamalardan geçecekti.
Yukarıda ana çizgilerini belirttiğimiz gelişmede kimlerin rol oynadıklarını pek tabiidir ki burada saymamıza imkân yok. Cebirin akıl almaz gelişmesi düşünülünce, cebir faaliyeti ile matematik faaliyetin aynı şey olduklarını ileri sürmek ilk akla gelen şeylerden biridir. Analiz meselesini önce tarih açısından, sonra da gelişmesi bakımından ele alınca bu iddiaların ne kadar dayanaksız olduğu kendiliğinden ortaya çıkar.
ANALİZİN KEŞFİ
Newton (1643-1727) ile Leibniz (1646-1716) haklı olarak sonsuzküçükler analizinin yaratıcıları sayılırlar (zaten kendi aralarında da bu şerefi paylaşamamışlardır). Fakat analizi hiç yoktan varettikleri de söylenemez.
Konuyu dar bir açıdan ele almak istemezsek diyebiliriz ki, analiz sonsuz ile sonsuzküçüğü kendi kapsamına almakla cebiri aşan bir disiplindir. Sonsuz kavramı yunan düşüncesinde de ortaya çıkmış, fakat önce bir engel sayılmıştı: Zenon paradoksu (Akhilleus ve Kaplumbağa), sonsuz terimli bir sayının toplamı yapılamayacağı fikrine dayanıyor ve meselâ:
2=1+1/2+1/4+1/8 v.b.
gibi bir eşitliğin düşünülemeyeceğini ileri sürüyordu. Eudoksos’un tüketme sistemi bu güçlüğü ortadan kaldırmıştı. Arkhimedes’in bu sistemi, parabol parçasının kareleştirilmesine uygulaması bugün de matematik kesinliğin bir örneği sayılır. Gerçi sonsuz çarpanların, sonsuz terim ve çarpımlarının toplamları (seriler) sonsuzküçükler hesabının kurulmasından çok önce de sözkonusuydu. Bunun böyle olduğunu kabul etmek için,
…………………………. 2 2 4 4 6 6 8 8 …….
…………….. pi / 2 = —————————
…………………………. 1 3 3 5 5 7 7 9 …….
Şeklindeki sonsuz bir çarpım yardımıyla pi’yi belirleyen Wallis (1616-1703) formülünü hatırlamak yeter. Fakat, bu yoldan sunulan sonuçlar cebir biçimciliğinin geniş kapsamlı bir uygulamasından çok kesinliğe varmak tasasıyla yapılmış bir hesabın ürünleridir. Böylece “yeni hesap”ın kurulmasından hemen önce sonsuz işlemler kullanılmaya başlanmış, yeni hesap da bu kullanımdan yararlanmak imkânını bulmuştur. Zaten gerçek bir kesinliğe varmanın şartları çok daha sonraları tam bir açıklığa kavuşabilmiştir.
Yeni hesabın yararlanacağı başka bir sonsuz “kullanım”ı da bölünmezler geometrisinin kullanımıdır. Bölünmezler geometrisi, bir alanı, belirli bir yöne paralel bütün doğru parçalarının toplamı saymak cüretini gösteriyor ve aynı şekilde bir hacmi sonsuz sayıda bölünmez düzlemlerin toplamı sayıyordu.
Cavalieri (1598-1647), Roberval (1602-1675) ve Pascal’ın (1623-1662) ortaya attıkları bölünmezler teorisi bir bakıma bir alanın veya bir hacmin bir integralle hesaplanması yolunda bir hazırlıktı. Pascal bu yoldan birkaç basit fonksiyonun integrallerini de hesaplamayı başardı. Yeni metotların haklı olarak bir kenara ittikleri bölünmezler hesabı buna rağmen yer yer bu yeni metotlara destek olmuştur.
Alanlar problemi integral hesabının doğmasına yolaçtığı gibi, teğetler problemi de, özellikle bir fonksiyonun minimumu ve maksimumu problemine yaptığı katkıyla diferansiyel hesabın doğmasına imkan vermiştir. Teğetin açısal katsayısı ile belirlenmesi, türev, flüksiyon, enstantane hız (bir hareket diyagramında) v.b. kavramlarına yol açtı.
Bu şekilde ele alınan türev alma ve integral alma işlemleri kendiliklerinden birbirlerine karşıt iki işlem gibi görünmüyorlardı. Gerçekten de bu temel özelliği bir anda kavramak imkânsızdır. Galilei’nin mermiler üstünde yaptığı incelemede bu temel özelliğe rastlarız. Descartes ile Fermat ise bu karşıtlığa bazı özel hallerde rastlarlar.
Torricelli (1608-1647) ve Newton’un hocası Barrow da (1630-1677) bu özelliğin bilincine varmışlardı. Leibniz ve Newton’da ise bu temel özellik benimsenmiş, yerli yerme konmuş, fakat gene de türev alma ön planda tutulmuştur. Yeni hesap büyük bir hızla gelişti. Türev ve integral almaya bağlı temel kurallar kısa bir süre içinde belirlendi ve birçok probleme uygulandı.
Bu uygulamanın bir faydası da elemanter fonksiyonlar üstüne bilgilerin kesinleşmesine ve daha geniş bir kapsam kazanmasına imkân verdi. Taylor (1685-1731) ve Maclaurin’in (1698-1746) formülleri bu fonksiyonların seri halinde açılmasını sağladı. Bu konuda ilk sistemli çalışma, Bernouilli’nin (1667-1748) yardımından da yararlanan L’Hospital markisi (1661-1704) tarafından yapıldı. Bundan böyle yapılan çeşitli ayarlamalar ve düzeltmeler yeni hesabın tutulmasını engelleyemediği gibi uygulama alanında gitgide genişlemesini de durduramadı.
Yeni hesabın o devirlerde, cebirci Rolle (1652-1719) gibi inatçı muhalifleri olması (oysa ilk analiz teoremlerinden biri onun adını taşır) gerçekten şaşırtıcıdır. Buna bir sebep bulmak gerekirse denilebilir ki o sıralarda yeni hesap henüz sağlam temellere oturtulmuş değildi. Bu temel ancak XIX. yy.ın ilk yansında atılabildi. Fakat “yeni hesap”, temeli atılmış olsun veya olmasın kendi yolunda ilerliyor ve özellikle uygulama alanında başarıdan başarıya koşuyordu.
ANALİZİN KURULUŞU
Sonsuzküçükler hesabının ilk hazırlık ve gelişme dönemi Büyük Katerina’nın Petersburg’a çağırdığı Basel’li dâhi matematikçi Euler’in muazzam eserinde doruğuna ulaşır. Klasik analizin benimseyeceği büyük yolların çoğu bu eserde gösterilmiş ve açılmıştır. Fakat buna rağmen, analizin ağlam ve tutarlı bir temele oturmuş bir organon gibi geliştiği gene de söylenemez.
Kendi temelini kendi kurmadan önce analiz bir süre için mekanik ve fizikle kader birliği yapacaktır. Burada cebirle geometrinin birbirlerini desteklemeleri hakkında söylediklerimizi tekrarlayabiliriz: kendi fonksiyonunu yerine getirebilmek için, analiz, olağanüstü genişlikte bir araştırma alanını kendi başına açmak zorundaydı.
Mekaniğin kurulması çok yavaş oldu. Statik denge kanunlarını aşan ilk bilgin Newton’dur. Bir kütleye uygulanan kuvvetin, bu kütle ile ivmesinin çarpımına veya hareket niceliğinin süresine göre türevine eşit olduğunu ileri sürmekle dinamiği de kurmuş oluyordu. Newton’un ikinci büyük keşfi olan yerçekim kanunu da bu dinamik konunun çerçevesinde yer alır.
Bu durumda, gök mekaniğinin büyük problemleri de hesapla, daha doğrusu temel kanunların ifadesinde türevler de yer aldığına göre, yeni hesapla çözülebilecek demekti. Dolayısıyla de çözümlenecek denklemler artık cebir denklemleri değil diferansiyel denklemler, yani en basit şekliyle belirlenecek bir fonksiyon ile bu fonksiyonun ilk iki türevi arasındaki bağıntılardı. Şunu da belirtelim ki, bu durumda bilinmeyen bir sayı değil bir fonksiyondur.
Newton sistemi gerçek bir gök mekaniğinin kurulmasıyla doğrulanacaktı, bu gök mekaniğinin gerçek sayılabilmesi için de, Güneş’in, Ay’ın, gezegenler ve kuyrukluyıldızların görünür hareketleri üstünde yapılan gözlemleri tam bir kesinlikle doğrulayabilmesi lâzımdı. Bu mekaniğin kurulması uzun çabalar gerektiren ve bütün büyük analizcilerin dikkatini çeken bir iş oldu.
Gerekli analiz araçlarının bulunması, diferansiyel denklemler üstünde, bazı denklemlerin çözümü (özellikle kısmi türevli denklemler) üstünde geniş araştırmalara yol açtı Zaten, titreşimli kiriş veya ısının yayılması gibi bazı büyük fizik problemlerinin ele alınabilmesi için gerekli şartlar da bu çerçeve içinde incelenmelidir.
İşin şaşılacak tarafı, analizin temelleri meseleyi tatmin edici bir şekilde açıklanmadan önce de bu araştırmaların büyük bir başarıyla sürüp gitmesidir. Fakat, şunu hemen belirtelim ki, analiz bazı eşikleri (msl. “var olma teoremleri” denilen teoreme götüren eşiği) ancak bu açıklama sayesinde aşabilirdi. Bu da, Cauchy ve Weierstrass’ın eserleriyle gerçekleşti. Bu iki bilgin, limit ve yakınsama gibi iki komşu fikrin, herhangi bir istisnaya yer vermeden tam bir kesinlikle uygulanmasını sağladılar.
Bütün temel kavramlar ve bütün “sonsuz usuller” tekrar ele alındı ve bu görüş çerçevesinde (sürekli, türev, integral, bir serinin toplamı, sonsuz bir çarpımın değeri v.b. kavramları) aydınlığa kavuşturuldu. Bu arıtma işlemini hiç bir tökezlemeye meydan vermeden yürütebilmek için “epsilonlar tekniği” denilen yeni bir teknik icat edildi. Daha önceleri gerçek bir kesinliğe kavuşturulmamış olmakla birlikte fonksiyon kavramı uzun süre kullanılmış, bu kavramın anlamını iyice sınırlayabilmek için özellikle Lagrange tarafından birçok denemeye girişilmişti.
Sözünü ettiğimiz genel hazırlık ve tanımlama dolayısıyla, analitik fonksiyon kavramı (karmaşık bir değişkenden türetilebilecek fonksiyon) bir gerçek değişkenin fonksiyonu yanında yer almaya hak kazandı. Bununla ilgili araştırmalar, bir fonksiyonlar teorisinde toparlanarak alabildiğine bir kapsam genişliğine kavuştu ve analizin de bu sayede birleştirici bir yaygınlığa ulaşabileceği anlaşıldı. Böylece bu temel kavramlar üstüne kurulan analiz, kesin bir doktrin halini aldı.
Hemen hemen aynı zamanda analizin mekanik veya fizikle ilişkisi de yepyeni bir özelliğe kavuşuyordu. Bütün bu bilim dalları, süregelen ve hattâ güçlenen işbirliklerine rağmen kendi ayrıcalıklarını da yavaş yavaş ortaya koymaya başlamışlardı.
Euler, d’Alambert, Clairaut Laplace’ın mekaniğe ve gök mekaniğine katkıları o güne kadar matematiğin ayrılmaz bir parçasıydı. Buna en iyi örnek olarak Lagrange’ın analitik mekaniğini gösterebiliriz. Varılan sonuçları yeniden ele alan analiz, bunları kendi çerçevesinde değerlendirdi; kapsamlarını genişletti, genelleştirdi ve denklemler ile âdi diferansiyel denklem sistemleri, birinci basamaktan diferansiyel denklemler, ikinci basamaktan diferansiyel denklemler, eliptik, hiperbolik ve parabolik denklemler, varyasyonlar hesabı v.b. birtakım kendi içinde tutarlı ayrı bölümler kurdu.
Bu araştırmalar sırasında, büyük fonksiyon sınıflarının karşılıklı seri halinde açılmasına (bu açılımın ilk örneği, Fourrier serileri dediğimiz trigonometri serileridir) imkân veren eksiksiz dikgen fonksiyon sistemleri de ortaya çıktı.
Analiz ayrıca, kuvvet alanları teorisine hâkim olabilmek için vektör ve tansör analizi haline dönüştü, V. Volterra ve J. Fredholm ile büyük bir integral denklemler ve integral-diferansiyel denklemler teorisi kurdu ve fonksiyon kavramı genelleşmiş şekline fonksiyonel kavramında kavuştuğu için, fonksiyonel analize yöneldi; analizin yaratıcı gücü hakkında tam bir fikir verebilmek için şu örneği de sayalım: Hilbert uzayı sonsuz boyutlu bir uzay fikrini, yakınsama fikri ve bir eksiksiz fonksiyonlar sistemiyle bağdaştırarak soyut ve genel bir analizin çerçevesini çizer.
Kendi öz temalarını, kendine özgü meseleleri gitgide daha serbest, daha takıntısız bir şekilde geliştiren ve benimseyen bu matematik faaliyetle birlikte mekanik ve fizik de, matematiğe indirgenemeyecekleri günden güne daha iyi açığa çıkan kendi özgürlüklerine kavuşmaya başladılar.
İşledikleri tema, ele aldıkları konu, her ne kadar matematik ifadelere sıkı sıkıya bağlı ve muhtaç bir konuysa da, saf matematikçinin deneyiyle sınırlanamayacak başka bir deneye dayanır. Bu çifte özelliği gözden kaybetmemek için, matematiğin saf matematik olarak, uygulandığı alanlardan, bir çeşit dili, ifade aracı olduğu alanlardan sıyrıldığı söylenir.
Cebir ve analiz başka bir açıdan da tekrar birbiriyle kaynaştırılmış ve her ikisi de yapısal analiz halinde birleşerek yeniden ortaya çıkmışlardır. Bu yeni dönemin bir faydası da, matematiğin uygulandığı alanlardan daha da ayrılması ve kendi özerkliğine büsbütün kavuşması oldu. Fakat bu özerklik, analize düsen görevi, yani bilme faaliyetimizin bütün nesnel yönünü kapsayan bir organon olmasını engellemedi.
DİFERANSİYEL GEOMETRİ
Burada gelişmesini ana çizgileriyle belirttiğimiz matematik, metodoloji bakımından, Eski Yunan’daki yol gösterici görevini hiç bir zaman tekrar yüklenmedi. Koordinatlar aracılığıyla cebire bağlandığını, cebirsel geometriye dönüşerek çeşitli gelişimler geçirdiğini, diferansiyel hesap ve integral hesaba yolaçan problemler çerçevesinde (özellikle teğetler problemi) analizle bağıntı kurduğunu gördük. Bütün bunlar, analizin geometriye uygulanmasıyla ortaya çıkan diferansiyel geometrinin ilk belirtileriydi. Bu araştırma alanında varılan sonuçları belirtmek için üç olay ve üç isim üstünde duracağız.
Gauss’un theorema egregium’u bir yüzeyin her noktasında, “Gauss eğriliği” dediğimiz eğrilik (veya “tüm eğrilik”) bu yüzeyin genişlemesiz her fleksiyonu için bir invariyanattır. Ds2’si ile karakterize edilen n boyutlu bir Riemann uzayında bu teorem eğrilik tansörünün aracılığıyla genelleşir. Riemann uzayları da kendi genelleşmiş şekillerine E. Cartan’ın affın, uygun v.b. bağımlı uzaylarında kavuşurlar. Einstein’ın genel çekim teorisi, ifadesini Reimann’ın dört boyutlu uzayında bulur ve ancak Cartan’ın uzaylarında genelleştirilebilir.
Ayrıca, Cartan’ın bağım teorisinde Lie gruplarının, yani n boyutlu bir uzayın değişimi sürekli gruplarının rolünü de belirtelim. Kendileri de önemli araştırmalara konu olan bu gruplar günden güne sayısı artan alanlarda başvurulan güçlü bir çalışma aracıdır. Erlangen’de açıkladığı programında F. Klein, bu grupların sınıflandırmasından, geometrileri sınıflandırmada yararlanmayı önermişti; bu sınıflandırmaya göre geometri sınıflarının her biri kavramlara dayanacak ve her birinde belli bir değişim grubu için değişmeyen özellikleri kapsayacaktı. Bu usule göre, Eukleides veya Eukleides dışı metrik geometriler, affin geometri, izdüşümsel geometri v.b. temel gruplarıyla ayırt edilirler.
Einstein’ın genel bağıllığının yer aldığı Riemann uzayı, “Lorentz grubu” dediğimiz grupla belirlenir.
YENİ GEOMETRİLER
Yukarıda sıraladığımız bu çeşitli araştırma doğrultuları arasında, konusu doğrudan doğruya geometri olan, eski Yunanlıların saf geometrisine bağlanabilecek bir geometri yok mudur? Şimdi bunlardan üçü üstünde duracağız.
Bu geometrilerden ilkinin hareket noktası, Rönesans ressamlarının perspektif çalışmalarıdır. Bunun ilkelerini sadece Piero Della Francesca’da aramak doğru olmaz. Desargues’dan sonra “sentetik geometri” denilen dolaysız bir izdüşümsel geometrinin doğduğunu görüyoruz. Carnot, Poncelet ve Chasles (geometri metotları üstüne bir incelemesi vardır) gibi Fransız geometri uzmanlarının ve bu arada İsviçreli büyük geometri bilgini İ. Steiner’ın geliştirmeye çalıştıkları bu geometri, Alman geometri uzmanı von Staudt sayesinde bağımsızlığına kavuştu. Fakat, izdüşümsel koordinatları kullandığı için kısa bir süre sonra bu geometri cebirsel geometri çerçevesine girdi.
Gelişme doğrultularının ikincisi, elemanter geometrinin doğrultusu, özellikle de Eukleides paralelleri postulatının tartışmasıdır. Bu postulat daha Eukleides’in ilk yorumcuları tarafından, doğruluğu bakımından değil de inandırıcılığı bakımından şüpheyle karşılanmıştı. Bu yüzden Eukleides’in postulatını ispatlamak veya herkesçe kabul edilebilecek başka bir postulat ortaya atmak için çaba gösterildi.
Tartışma, Araplar arasında da devam etti (Nasreddin ve Şemseddin el-Semerkandi’nin [1276] denemeleri). Batı’da yeniden ele alınan bu tartışma birçok geometriciyi, bu arada P. Sacceheri’yi (1667-1733), Lambert’i (1728-1777), Legendre’ı (1752-1833) ve Gauss’u (1777-1855) uğraştırdı. Kabul edilegelen açıklıklardan hareket ettiğimiz zaman paraleller postulatını ispat edemeyeceğimizi ilk defa akıl eden Gauss oldu.
Düşüncesini açıklamamakla beraber, bıraktığı notlardan anladığımıza öre Gauss, paraleller postulatının yanlış sayıldığı eukleides’çi olmayan ve “hiperbolik” diye nitelenen geometriyi keşfetti. Gauss’un vardığı bu sonuca bir süre sonra geometrici Bolyai (1802-1860) ve rus geometricisi Lobaçevskiy de (1792-1856) vardılar.
Lobaçevskiy’in doğru bir geometri kurmak için kullandığı metot Eukleides’in metodundan tamamen ayrıdır. Analitik geometri çerçevesinde bu tartışma meselesi bir yandan aydınlığa kavuşurken, bir yandan da karanlık bir hal aldı. Gerek hiperbolik geometrinin, gerek Eukleides geometrisinin, gerek Riemann (1826-1866) tarafından bulunan eliptik geometrinin tümdengelimli mantık bakımından kusursuz oldukları herkesçe kabul ediliyordu. Fakat ikişer ikişer ele alındıkları zaman tümünün de çelişik oldukları açık bir gerçekti.
Bu çıkmazdan kurtulmak için geometri metodu kullanılamadığına göre, ilk bakışta, son sözü analize bırakmak zorunlu görünüyordu. Buna rağmen söz konusu geometrilerin her birine aksiyomatik metodu uygulamanın mümkün olmasıyla, metodoloji alanında oldukça büyük bir hamle yapıldı. Bu hamleyi D. Hilbert’in (1862-1943) meşhur Grundlagen der Geometrie’sine (Geometrinin Temelleri) borçluyuz. Fakat Hilbert ile ana doktrin de temelinden değişti.
Temel aksiyomlar artık kendiliklerinden açık ve kabul edilebilir önermeler ayılamayacaklarına göre, bunların rolü, aksiyomlara uymaktan başka bir özelliği olmayan elemanter kategoriler arasında geçerli görülebilecek mantık bağıntıları ifade etmektir. Fakat böyle bir aksiyomlar sisteminin çelişik olmaması, temel ifadelere ve bütün sonuçlarından meydana gelen cümlelere aykırı düşecek ifadelerden kurtulması için ne gibi bir kıstasa başvurmalıdır?
Üç geometriyi bu bakımdan ele alan Hilbert doğruluk garantisini analizin verebileceğini ispatladı. Bu meselelerin, matematik metodundaki son değişikliklerde büyük etkisi oldu. Hilbert’in Grundlagen’i de, geometri üstüne geniş aksiyomatik araştırmaların yapılmasına yol açtı.
Dolaysız geometri araştırmalarının üçüncü doğrultusu, yani Leibniz’in Analysis situs dediği topoloji doğrultusu hakkında birkaç sözle yetineceğiz. Topolojinin konusu, herhangi bir sürekli deformasyonun değiştiremediği şekillerin, biçimlerin ve özelliklerin incelenmesidir. Meselâ bir yüzeyde kapalı olma özelliği veya bir tor’un deformasyonu olma özelliği ele alınır. H. Poincare’nin (1854-1912), bunun cebirsel olarak ifade edilmesinde büyük katkısı olmuştur. Bugün yeni cebire ve gruplar teorisine bağlanan topoloji günden güne yapısal matematiklerin kapsamına girmektedir.
Çeşitli matematik ve disiplinlerini sıraladığımız bu özetin eksiksiz olması için, sayılar teorisini ve ihtimaller hesabını da saymamız gerekir. Fermat’dan bu yana sayılar teorisi birçok büyük matematikçi tarafından ele alınmıştır. Fakat teoriye ilişkin çetin araştırmaları burada birkaç kelimeyle özetleyemeyeceğiz.
İhtimaller hesabına gelince, bu konuyu matematiklerin metodundan söz ederken ele alacağız.
YAPILAR MATEMATİĞİ
Matematiklerin metodu açısından aksiyomatik metoda dönüş (Hilbert), büyük bir dönüm noktasıdır. Fakat dönüm noktasını bir geriye dönüş sanmak doğru olmaz: Hilbert aksiyomatiği Eukleides aksiyomatiğinden büsbütün başkadır. Bu olayı gereğince değerlendirmek için daha geniş bir çerçeve içinde ele almalıyız.
XIX. yy.da cebir ve analizin yanı sıra iki yeni disiplin doğmuştu: sembolik mantık ve cümleler (veya kümeler) analizi. Boole (1815-1864), Schröder (1841-1902) ve Frege’nin (1848-1925) temsil ettikleri birinci disiplinin maksadı her şeyden önce mantıki muhakemeyi bir cebir hesabına indirgemektir (”Boole cebiri” denilen bu cebir klasik cebirden oldukça farklıdır).
Bu ilk amacını zamanla aşan sembolik mantık oldukça geniş bir alana yayıldı ve predicat’lar mantığı, sınıflar mantığı, önermeler mantığı v.b. diye kollara ayrıldı. Hattâ Whitehead (1861-1947) ve Russell’in (1872-1970) Principia Mathematica’larıyla büyük çapta birleştirici bir teşebbüse girişerek bütün mamatikleri sadece kendi temel kavramları ve ve kuruluş kurallarıyla ifade etmeye yöneldi.
Cebir, analiz ve geometri cümleler kavramından gittikçe artan bir özgürlük ve genelleştirme çabasıyla yararlandıkları için bu kavramın er geç derin araştırmalara konu olması beklenirdi. Bir genel cümleler teorisini ilk defa ortaya atan G. Cantor (1845-1918) oldu. Bu teori özellikle kuvvetleri bakımından birbirinden ayırt edilebilecek sonsuz cümleler üstünde durur ve sonsuz bir sayılamanın ortaya koyduğu sonlu basamaklar ve sonsuz basamak ötesinde tedrici bir aşamayla art arda gelen sonsuzötesi basamakları kurar.
Sembolik mantık gibi cümleler teorisinin de kavramsal unsurları ve kendi kuruluş usulleri, matematikler bütününün birleştirici bir ifadede toplanması için kullanılabilir; bu alanda atılacak ilk adım gerçek sayılar cümlesinin sürekliliğini veya başka bir deyimle bir doğru noktaları cümlesinin sürekliliğini olanca açıklığıyla yeniden kurmaktır. Fakat her iki disiplin de gelişmeleri sırasında beklenmedik bir şekilde birtakım paradokslarla, yani çelişik önermelerle karşılaştılar. Bu olay çok değişik tepkilere yol açtı.
Tepkilerin en şiddetlisini gösteren Brouwer (1881-1966) doğrudan doğruya matematik muhakemenin kendisini suçladı ve özellikle üçüncüyü dışta bırakma ilkesinin sonsuz kategorilere uygulanabileceğini gösterdi. Bu matematik akılyürütme şeklinin yerine de, her adımını sui generis bir matematik sezginin ışığında atan ve kendi dışında daha güvenilir bir garantisi olmayan sezgisel bir düşünme metodunu ortaya koydu. Gerçi bu yola başvurulunca paradokslardan kaçınmak mümkündür ama klasik matematiklerin büyük bir kısmını da bu şekilde yeniden kurmak imkânsızdır.
Buna karşılık Hilbert klasik matematikleri uygulamanın herhangi bir çelişmeye yol açmayacağını ispatlamaya girişti. Bu maksatla da, kendi aksiyomatik metodunu aşarak biçimlendirici bir metodun temellerini atan bir ispatlama teorisi kurdu. Bir teoride yer alan aksiyomlar, başvurulacak mantık kurallarıyla aynı zamanda biçimlendirildiklerinden, tümdengelim işleminin yerini sembolleri kullanmaya ilişkin bazı kurallar alır.
Bu şekilde hareket etmenin yasak, yani çelişmeye yol açabilecek formüller doğuramayacağını ispatlamak için, Hilbert ile Bernays önceleri sembollerin problematiksiz ifadesine başvurmayı düşünmüşlerdi. Her ne kadar kurucularının tasarladıkları şekliyle kalamadıysa da, ispatlama teorisi biçimlendirici usuller üstüne sayısız araştırmaya imkân verdi. Bir disiplinin başka bir disiplinin araçlarıyla ifadesi, her zaman bu iki disiplin arasında ortak bir yapısal yönü ortaya koyar.
Hilbert’in görüşleri, matematikleri bütünüyle yeniden ele almak ve genel bir yapılar teorisine dönüştürmek yolundaki çalışmaları hızlandırdı. Burada söz konusu olan, matematik etkinliğin bünyesinde yer alan soyuta doğru bir gelişmedir. Bu gelişme daha çok cümleler teorisi ve bu cümlelerde bulunabilecek yapıların incelenmesi ile cebirler (kuaterniyonlar cebiri gibi basit cebirin dışında kalanlar), gruplar v.b. ile gerçekleştirilen yapıların incelenmesi arasındaki kaynaşma ile oldu. Bu yeni eğilimin en belirgin örneği günümüzdeki topoloji çalışmalarıdır.
Matematiklerin genel olarak yeniden ele alınması, özellikle “Bourbaki okulu” diye bilinen Fransız okulu sayesinde gerçekleşti. Şunu da belirtelim ki, matematiklerin böyle yeni bir biçimde ortaya çıkmasını, cümleler teorisi temellerinin bir açıklığa kavuşturulmamış olması engelleyemedi. Demek ki matematikçinin soyuta doğru yönelmesini doğrulayan ve garanti eden, çelişmezliği uzun zamandan beri defalarca denenmiş bir etkinlik çerçevesinde yer almasıdır.
SONUÇLAR
Kesinliği, özellikle bilginin araçları ve yolları konusunda kesinliği amaç edinen her felsefe, matematiğin bu yolda büyük bir başarıya ulaştığını inkâr edemez. İhtimaller hesabı bu başarının en iyi örneği ve özetidir. Yeni kurulan ihtimaller hesabının temellerini atanlar başta Jacqııes Bernouilli (1654-1705) olmak üzere Pascal ile Fermat’dır.
İhtimaller hesabı çerçevesinde matematikçi, belli bir deneylemeye karşılık olarak belirli bir kavramlar bütününü ve bu kavramlar arasında bağıntı kurma tarzlarını ortaya koyabilir. Bu “karşılık”, bu cevap, göz önünde bulundurulan gerçek şartların sadık bir tekrarı değil, bu şartların idealleştirilmiş bir taslağıdır. Matematikçinin ister deneyine devam etmesine, ister kendi zihni üretiminin sonuçlarını ortaya koymasına hiç bir engel yoktur. Demek ki hesabın doğuşu belirli bir ikilik ilkesine göre olur.
Uygulanması ve alacağı yer bakımından da hesabın iki yönde gelişmesi mümkündür: bir matematik disiplini olarak, soyuta giden genel harekete katılabilir ve bir genel yapılar teorisinde yer alabilir. Uygulamalı bir disiplin olarak ise, müdahale alanı bütün bilgi alanını kapsayacak şekilde genişletilebilir.
İkilik ilkesi matematik disiplinlerinin bütününe teşmil edilmelidir. Bu ilke, matematik yaratma gücünün günden güne artan özgürlüğü ile matematik uygulamaların günden güne artan kesinliğini karşılaştırmaya imkân verir. Böylece matematiğin, gerek insan zihninin gelişmesinde, gerek bütün tekniklerin ilerlemesinde ne kadar önemli ve vaz geçilmez bir rol oynadığı daha iyi anlaşılır.
Bilim Sözlüğü alt kategorisi içerisinde
